Definition - Reelle Folge

• Typen:
  • Nullfolge
  • Cauchyfolge
  • Konvergente Folgen
  • Divergente Folgen
  • Mengenfolge
  • Funktionenfolge
• Beispiele:
  • Endstück
  • Teilfolge
  • Intervallschachtelung
  • Valenzsequenz
  • Gradientenabstiegsverfahren
  • Newton-Verfahren für Minimierungsprobleme
• Konstrukte:
  • Folgenglied
  • Endstück
  • Teilfolge
  • Fast alle Glieder einer Folge
  • Konvergenz
  • Divergenz
  • Grenzwert
  • Streng wachsende Folge
  • Beschränktheit von Folgen
  • Monotonie
  • Gipfelstelle
  • Verknüpfung von Funktionen (gilt auch für Folgen)
  • Häufungspunkt
  • Proportionalität von Folgen
• Generalisierungen:
  • Funktion
• Eigenschaften:
  • Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig
  • Der Grenzwert von (a_n-a)=0
  • Teilfolgen konvergieren gegen denselben Grenzwert
  • Jede konvergente Folge ist beschränkt
  • Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen
  • Rechenregeln konvergenter Folgen
  • Monotonieprinzip
  • Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge
  • Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß
  • Verknüpfung von Funktionen
  • Lemma - Intervall ist abgeschlossen gdw Jede Folge von Elementen in dem Intervall hat eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert im Intervall
  • Grenzwert konvergenter Funktionen ist eindeutig
• Involvierte Definitionen:
  • Reelle Zahlen
• Referenz: Mathegrundlagen

Definition: Reelle Folge

Eine reelle Folge ist eine Abbildung

Notation

Statt

Schreiben wir auch verkürzend:

• oder noch kürzer

Anmerkung

Folge oder Sequenz

Statt Folge sagen wir auch manchmal Sequenz. Insbesondere im Englischen spricht man von sequences.

Achtung

Eine Folge hat immer unendlich viele Folgenglieder, die nicht verschieden sein müssen.

Zwei Folgenglieder werden als verschieden angesehen, solange .