Beispiel - Die divergente Summenbruch-Folge

• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Divergenz
• Referenz: Mathegrundlagen

Beispiel: Die divergente Summenbruch-Folge

Die Folge ist divergent.

Beweis

Der Beweis hier ist um einiges länger und weniger sauber als der im Skript. Den im Skript habe ich aber einfach nicht richtig verstanden.

Um zu zeigen, dass divergiert, wollen wir zunächst zeigen, dass die Folge

divergiert.

Anschließend zeigen wir, dass größer als eine weitere Folge ist. Und für diese Folge zeigen wir, dass eine Teilfolge von ihr ist.

Damit muss dann nämlich auch und damit wiederum auch divergieren.

ist divergent

Wir wissen bereits, dass die Folge (n) divergiert - und genau diese Folge ist eine Teilfolge von . Es gilt nämlich:

Da also schon unendlich viele Folgenglieder hat, für die es keinen Grenzwert gibt, kann nach Definition 13.1.6 auch keinen Grenzwert haben.

Abschätzung von nach unten

Betrachten wir nun einmal genauer:

In dem letzten Schritt haben wir trickreich nach unten abgeschätzt. Dabei haben wir (farbig hervorgehobene)“Blöcke” geschaffen, deren Summe jeweils zu evaluiert. Für Details zu dem Verfahren, siehe:

Khan Academy

Wir erhalten als neue Folge.

ist eine Teilfolge von

Wir erinnern uns, für galt:

Betrachten wir genau, können wir erkennen, dass es sich bei auch wieder nur um eine Teilfolge von handelt. Es gilt:

Damit erhalten wir ein eindeutiges “Mapping” zwischen und . Es gilt: .

Damit ist die Folge eine Teilfolge von . Da divergent ist, folgt, dass auch divergent ist.

ist divergent

Da also divergent ist, und , muss auch divergent sein, was zu zeigen war.