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Theorem: Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist
Beweis
Beweis 13.5.15:
Sei also eine konvergente Folge. Es ist zu zeigen, dass
Sei . Da konvergiert, gibt es ein , sodass für zwei Folgenglieder , mit gilt:
Damit gilt weiter:
ü
Und das ist genau, was zu zeigen war.
Beweis 13.5.16:
Sei also eine Cauchy Folge. Es ist zu zeigen, dass konvergiert.
Hierzu zeigen wir zunächst, dass beschränkt ist und damit eine konvergente Teilfolge hat. Anschließend zeigen wir, dass auch konvergiert.
ist beschränkt
Sei . Nach Voraussetzung gibt es ein , sodass für gilt
Mit Proposition 12.2.21 gilt weiter
Es folgt, dass auch .
Sei . Damit gilt also und entsprechend folgt
Damit ist das Endstück nach oben durch beschränkt.
Dann gilt aber auch, dass alle Folgenglieder von beschränkt sind, denn
Da beschränkt ist, folgt mit dem Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß, dass eine konvergente Teilfolge enthält.
Sei . Wir wollen nun zeigen, dass ebenfalls gegen konvergiert.
konvergiert gegen
Sei , dann gilt, da eine Cauchyfolge ist
Da die Teilfolge gegen konvergiert, gibt es nach Definition 13.1.8 ein , sodass
Da der Index größer ist als der Index (also ), gilt die Gleichung auch für wie folgt:
Ähnlich zu im Beweis weiter oben gilt:
ü
Also: . Mit Definition 13.1.8 folgt, dass gegen konvergiert, was zu zeigen war.