Beispiel - Die e-Folge

• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Konvergenz
  • Monotone Folge
  • Beschränktheit von Folgen
• Referenz: Mathegrundlagen

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Beispiel: Die e-Folge

Die Folge ist konvergent.

Anmerkung

Tip

Die Grenzwert von ist die Euler’sche Zahl.

Beweis

Da alle Folgenglieder positiv sind (vgl. Proposition 12.2.13) ist nach unten beschränkt.

Wenn wir zeigen können, dass monoton fallend ist, dann ist sie durch nach oben beschränkt. Es folgt, dass beschränkt ist. Mit Korollar - Monotone Folge konvergiert gdw Monotone Folge ist beschränkt würde damit folgen, dass konvergiert.

Es ist also zu zeigen, dass monoton fallend ist.

ist monoton fallend

Da alle Folgenglieder von positiv sind, ist es nach Definition 13.5.1 2.) ausreichend, zu zeigen, dass

Sei . Es gilt:

Da also , folgt, dass monoton fallend ist.

Schluss

Mit Korollar 13.5.3 folgt, dass konvergiert.