Proposition - Betragssatz

• Bewiesen durch:
  • Proposition 12.2.21
  • Transitivitätsgesetz (A7)
• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Konvergenz
  • Grenzwert
  • Betrag einer reellen Zahl
• Referenz: Mathegrundlagen

Proposition: Der Betragssatz

Konvergiert gegen , so konvergiert gegen .

Anmerkung

gilt nicht

Es gibt Folgen, für die konvergiert, aber nicht.

Beispielsweise ist die Aufgabe - Die Folge (-1) hoch n divergent, während die Die konstante Folge mit konvergiert.

Beweis

Da gilt nach Definition 13.1.8:

Mit Proposition 12.2.21 gilt:

Es gilt also auch

Mit dem Transitivitätsgesetz (A7) folgt also

Mit Definition 13.1.8 gilt hiermit , was zu zeigen war.