Proposition - Rechenregeln konvergenter Folgen

• Bewiesen durch:
  • Bemerkung 13.4.11 1.)
  • Bemerkung 12.2.20
  • Aufgabe 13.1.4
  • Proposition 13.2.7
  • Proposition 13.4.9
  • Betragssatz
  • Proposition 12.2.1 b)
  • Proposition 12.2.21
  • Proposition 13.4.6
• Involvierte Definitionen:
  • Folgenraum
  • Konvergenz
  • Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Rechenregeln konvergenter Folgen

Sei eine konvergente Folge mit . Sei eine konvergente Folge mit . Dann gilt:

1. konvergiert gegen .
2. konvergiert gegen .
3. Ist , so konvergiert gegen .
4. konvergiert gegen .
5. Ist und sind fast alle Glieder , dann konvergiert gegen .

Anmerkung

Tipp

Wir können auch jeweils schreiben:

• …

Beweis

Beweis zu 1.

Sei .

Da und konvergent sind, gibt es Indizes und , sodass

Damit gilt dann auch:

Also . Nach Addition von Folgen und Konvergenz einer Folge gilt damit, dass

was zu zeigen war.

Beweis zu 2.

Da

• und
• sind nach Aufgabe 13.1.4 die beiden Folgen
• Nullfolgen.

Da außerdem und mit Proposition 13.2.7 beschränkt sind, folgt mit Proposition 13.4.9, dass auch die beiden Folgen

• Nullfolgen sind.

Mit der ersten Aussage dieser Proposition folgt schließlich, dass

eine Nullfolge ist.

Mit Aufgabe 13.1.4 ist damit , was zu zeigen war.

Beweis zu 3.

Sei . Es ist zu zeigen, dass gegen konvergiert, wenn .

Wählen wir die konstante Folge . Da gegen konvergiert, folgt mit der 2. Aussage dieser Proposition, dass gegen konvergiert, was zu zeigen war.

Beweis zu 4.

Es ist zu zeigen, dass gegen konvergiert.

Mit der 3. Aussage der Proposition konvergiert gegen .

Mit der 1. Aussage der Proposition konvergiert gegen , was zu zeigen war.

Beweis zu 5.

Sei und sind fast alle Glieder . Es ist zu zeigen, dass gegen konvergiert.

Der Beweis im Skript hierzu ist auf den ersten Blick … sehr kompliziert. Das liegt daran, dass wir nicht so einfach wissen können, wogegen die Folge konvergiert. Mit dem Satz des Eudoxos kommen wir hier auch nicht weiter, denn die sind ja nicht einfach nur Natürliche Zahlen, sondern kommen von der nicht näher definierten Folge .

Sei also und fast alle Glieder . Mit dem Betragssatz, konvergiert dann gegen .

Da , ist auch . Damit können wir uns folgende -Umgebung konstruieren:

Sei . Die resultierende -Umgebung ist mit Definition 12.2.32 durch das Intervall

definiert.

Da

1. nach Definition 13.1.6 fast alle Glieder enthält und
2. der linke Randpunkt von ist, gibt es offensichtlich ein , sodass

Wir versuchen jetzt, die Folge abzuschätzen. Falls der Grenzwert der Folge sein sollte, dann sollte eine Nullfolge sein. Genau das werden wir mit dieser Abschätzung zeigen.

Es sei weiterhin . Dann gilt:

Da die Folge mit Aufgabe 13.1.4 ist eine Nullfolge, folgt mit der 2. Aussage dieser Proposition, dass auch die gesamte Folge eine Nullfolge ist.

Da

folgt mit Proposition 13.4.6, dass auch eine Nullfolge ist. Mit Aufgabe 13.1.4 folgt, dass gegen konvergiert.

Schließlich folgt mit der zweiten Aussage dieser Proposition, dass

gegen konvergiert.