Theorem - Prinzip der Intervallschachtelung

• Bewiesen durch:
  • Proposition 13.4.12
  • Monotonieprinzip
• Involvierte Definitionen:
  • Intervallschachtelung
  • Reelle Zahlen
  • Abgeschlossenes Intervall
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Prinzip der Intervallschachtelung

In jeder Intervallschachtelung gibt es genau eine reelle Zahl , die in allen Intervallen liegt.

Beweis

1. Teil: Alle Intervalle enthalten eine reelle Zahl

Sei . In der Anmerkung zu Definition 13.5.20 haben wir bereits festgestellt, dass

1. die Folge der linken Randpunkte, , monoton wächst und
2. die Folge der rechten Randpunkte, , monoton fällt.

Aus der ersten Voraussetzung von Definition 13.5.20 folgt, dass die Folgen und beschränkt sind. Es gilt damit nämlich:

Da und beide monoton und beschränkt sind, folgt mit dem Monotonieprinzip, dass

Da eine Nullfolge ist, gilt . Mit Proposition 13.4.12 folgt .

Es gilt also: .

Da

liegt der Grenzwert von in allen Intervallen der Schachtelung.

Diese reelle Zahl ist eindeutig

Sei ebenfalls eine Zahl, die in allen Intervallen der Schachtelung liegt. Dann gilt

Es folgt, dass . Die Zahl ist also eindeutig.