Theorem - Monotonieprinzip

• Bewiesen durch:
  • Aufgabe 12.2.51 1.)
  • Merkregel 12.2.11
  • Proposition 13.4.12
• Generalisierungen:
  • Korollar 13.5.3
• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Monotonie von Folgen
  • Beschränktheit von Folgen
  • Konvergenz
  • Supremum
  • Infimum
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Das Monotonieprinzip

Jede monotone, beschränkte Folge konvergiert.

• Ist monoton wachsend und beschränkt konvergiert sie gegen .
• Ist monoton fallend und beschränkt konvergiert sie gegen

Beweis

1. Teil: Monoton wachsend

Sei monoton wachsend und beschränkt. Sei .

Z.z. Es ist zu zeigen, dass .

Sei . Dann gibt es mit der zweiten Eigenschaft des Supremums ein mit

Da monoton wachsend ist, gilt für alle

Da das Supremum und damit eine Obere Schranke von ist, folgt mit für alle , dass

Das heißt aber auch: fast alle Glieder liegen in dem offenen Intervall .

Da fast alle Glieder von in liegen, gilt mit Definition 13.1.6, dass gegen konvergiert, was zu zeigen war.

2. Teil: Monoton fallend

Den Beweis können wir nun entweder genau so aufziehen, wie den 1. Teil, nur mit allem gespiegelt. Wir können aber auch das Ergebnis aus Aufgabe 12.2.51 1.) benutzen.

Sei monoton fallend und beschränkt. Sei .

Da monoton fallend ist, gilt:

Es folgt, dass monoton wachsend ist. Mit derselben Argumentation ist beschränkt, was ich hier aber nicht auch noch zeigen möchte.

Wir stellen also fest: ist monoton wachsend und beschränkt. Sei .

Mit dem ersten Teil des Theorems konvergiert also gegen .

Da also eine konvergente Folge ist, gilt mit Proposition 13.4.12, dass gegen konvergiert.

Mit Aufgabe 12.2.51 1.) folgt:

konvergiert also gegen , was zu zeigen war.