Proposition - sup(-M)=-inf M

• Involvierte Definitionen:
  • Supremum
  • Infimum

Proposition:

Sei und . habe ein Supremum und ein Infimum. Sei

Dann gilt:

Beweis

Sei . Es ist zu zeigen, dass

Nach Definition 12.2.47 2.) ist eine Obere Schranke von . Und es gilt:

Da , gilt weiter:

Das ist jedoch gerade die Definition des Infimums . Es bleibt zu zeigen, dass eine Untere Schranke von ist.

Da eine Obere Schranke von ist, gilt:

Damit gilt, dass eine Untere Schranke von ist.

Die andere Richtung zeigen wir äquivalent. Sei . Dann gilt nach Definition 12.2.47 1.):

Da , gilt weiter:

Damit erfüllt jedoch genau die Definition der zweiten Eigenschaft des Supremums.

Es bleibt zu zeigen, dass eine Obere Schranke von ist. Da eine Untere Schranke von ist, gilt:

Damit ist eine Obere Schranke von .

Schluss

Da beide Richtungen halten gilt die Aussage: