Definition - Supremum

• Konstrukte:
  • Limes Superior
• Eigenschaften:
  • Eindeutigkeit des Supremums
  • Wenn alle beschränkten Teilmengen ein Supremum haben, dann hat auch jeder Dedekind’sche Schnitt genau eine Trennungszahl
  • Monotonieprinzip
  • Lemma - Es gibt eine Folge die gegen das Supremum einer beschränkten Teilmenge von R konvergiert
• Hinreichende Aussagen:
  • Maximum ist immer auch Supremum
  • Proposition - sup(-M)=-inf M
  • Proposition - inf(-M)=-sup M
  • Supremumsprinzip
• Involvierte Definitionen:
  • Obere Schranke

Definition: Supremum

Eine reelle Zahl heißt kleinste obere Schranke oder Supremum einer Menge , falls:

1. ist eine Obere Schranke von und
2. keine Zahl mit ist eine obere Schranke von

Wir schreiben auch .

Anmerkung

Der Plural von Supremum ist Suprema.

WARNING

Die zweite Eigenschaft lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken: