Theorem - Supremumsprinzip

• Charakterisierungen:
  • Äquivalenz von Supremumsprinzip und Schnittaxiom
• Bewiesen durch:
  • Bemerkung 12.2.48 2.)
  • Schnittaxiom (A9)
• Involvierte Definitionen:
  • Beschränktheit nach oben
  • Supremum
  • Dedekind’scher Schnitt
  • Trennungszahl

Theorem: Supremumsprinzip

Jede nach oben beschränkte Teilmenge mit besitzt ein Supremum.

Beweis

Sei eine nach oben beschränkte Menge.

1. Fall: hat ein Maximum

Hat ein Maximum, dann ist dieses Maximum nach Bemerkung 12.2.48 2.) gleichzeitig auch das Supremum und wir sind fertig.

2. Fall: hat kein Maximum

Für den 2. Fall konstruieren wir uns erst einen Dedekind’schen Schnitt. Dann zeigen wir, dass

• die Trennungszahl eine obere Schranke von ist
• und dass sie die kleinste obere Schranke und damit das Supremum von ist.

2.1 Konstruktion eines Dedekind’schen Schnitts

Sei die Menge der oberen Schranken von . Auch für gilt: , da nach oben beschränkt ist

Da gilt weiter, dass .

Sei nun . Auch für gilt: , denn wie wir bereits festgestellt haben, gilt .

Es gilt nach der Konstruktion von , dass und

Damit definieren die beiden Mengen und den Dedekind’schen Schnitt , denn:

1. und

2.2 Die Trennungszahl ist eine obere Schranke von

Da kein Maximum hat, gilt .

Dann muss auch gelten, dass , denn enthält ja lediglich die oberen Schranken von .

Da ein Dedekind’scher Schnitt ist, gibt es auch genau eine Trennungszahl , für die gilt:

Damit ist also auch eine Obere Schranke von (und damit von ).

2.3 Und sie ist die kleinste obere Schranke von

Da eine obere Schranke von ist, gilt .

Sie ist außerdem das kleinste Elemente in . Das zeigen wir per Widerspruch.

Sei mit . Dann müsste auch für gelten, dass

Das ist jedoch ein Widerspruch zu dem Schnittaxiom (A9), nach dem jeder Dedekind’sche Schnitt genau eine Trennungszahl besitzt.

Schluss

In beiden Fällen besitzt also ein Supremum, was zu zeigen war.