Theorem - Existenz p-ter Wurzeln

• Bewiesen durch:
  • Bernoulli’sche Ungleichung
  • Supremumsprinzip
  • Transitivitätsgesetz (A7)
  • Lemma 12.2.66
  • Trichotomiegesetz (A6)
  • Binomischer Lehrsatz
  • Proposition 12.2.13
  • Satz des Eudoxos
  • Proposition 12.2.15
  • Satz des Archimedes
• Involvierte Definitionen:
  • p-te Wurzel

Theorem: Existenz p-ter Wurzeln

Ist mit und , so gibt es eine -te Wurzel aus .

Beweis

Der Beweis wird sehr lang und (imho) kompliziert. Aber wir schaffen das😊

Ist oder , so gilt die Behauptung.

Daher seien im Folgenden und .

Wir definieren nun eine Menge wie folgt:

Im Folgenden wird es erst unser Ziel sein, zu zeigen, dass ein Supremum hat.

Anschließend werden wir herausfinden, dass es sich bei diesem Supremum um die p-te Wurzel aus handeln muss. Und damit sind wir dann auch schon fertig :)

Damit überhaupt irgendetwas enthalten kann, muss natürlich gelten, dass .

Sei , dann gilt:

Damit ist also mindestens .

Also, weiter im Programm:

1 Die Menge hat ein Supremum

Um zu zeigen, dass ein Supremum hat, müssen wir erst zeigen, dass nach oben beschränkt ist.

1.1 ist beschränkt

Da mit (und damit auch ) und , gilt mit der Bernoulli’schen Ungleichung:

Da und gilt mit der Definition von weiter:

Mit dem Transitivitätsgesetz (A7) gilt also:

und mit Lemma 12.2.66 folgt:

Damit ist eine Obere Schranke von und nach oben beschränkt.

1.2 hat ein Supremum

Dass ein Supremum hat, folgt dankenswerterweise direkt aus dem Supremumsprinzip, denn es gilt ja:

ä

Dieses Supremum bezeichnen wir nun mit .

Insbesondere gilt für nach Definition von :

DANGER

Da ein Supremum ist, muss nicht gelten

Im Folgenden wollen wir zeigen, dass eine p-te Wurzel aus ist, also dass gilt:

2 Das Supremum ist die -te Wurzel aus

Wir werden den Beweis per Widerspruch führen. Das heißt konkret, dass wir die Aussagen

• und
• beide zu einem Widerspruch führen werden.

Nach dem Trichotomiegesetz (A6) muss dann gelten, dass

womit die p-te Wurzel aus wäre.

2.1 Erster Fall: Sei

Dann gilt mit dem Binomischen Lehrsatz für alle

mit

• und

Da

• (hatten wir für den Fall angenommen)
• gilt mit Proposition 12.2.13 auch

(denn beide Faktoren sind ).

Mit dem Satz des Eudoxos gibt es ein , sodass

Durch Umformen dieser Ungleichung erhalten wir:

HINT

Interessanterweise ist das genau das Endergebnis der Ungleichung, die wir oben berechnet hatten. Zu Erinnerung:

Damit gilt also:

Das ist aber nichts anderes als mit .

Nach Definition der Menge liegt damit in .

Und da und damit gilt mit Proposition 12.2.13 auch, dass Daher muss sein.

Also:

• und
• Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass das Supremum von ist - dabei war das ja genau unsere Definition von !

Damit kann nicht wahr sein.

2.2 Zweiter Fall: Sei (und damit auch )

Dieser Teil wird hart. Wir werden zwei logische Schlussketten führen, die beide zusammenhängen und deren Kombination uns am Ende zu einem Widerspruch führen wird (und genau das ist ja auch das Ziel).

Wir werden schließlich zeigen können, dass impliziert, dass es ein geben muss, mit

Das ist ein Widerspruch, denn laut Definition von gilt ja

das heißt, .

Wie machen wir das?

1. Zunächst wählen wir uns ein Element , das kleiner ist als .
2. Dann zeigen wir allerlei Eigenschaften des Elements. Unser Ziel ist aber, zu zeigen, dass größer sein kann als .
3. Wir zeigen, dass es ein geben muss mit - und damit auch ↯
4. Nach Definition von ist das jedoch ein Widerspruch.

2.2.1 Ein Element (also ), dass kleiner als ist

Wir hatten ja schon festgestellt, dass das Supremum von ist.

Das heißt: nehmen wir uns eine Zahl mit , dann gibt es auf jeden Fall eine Zahl , die größer ist als und in liegt ( und ).

Eine solche Zahl (quasi , nur werden wir sie nie so nennen), die kleiner ist als , wollen wir uns im Folgenden genauer anschauen:

mit .

Solange , ist nämlich auch und damit .

Wie in der Beweisskizze schon angemerkt, ist es unser Ziel, zu zeigen, dass .

Wir wollen also nach unten abschätzen. Der Term, den wir dabei erhalten werden, ist ein wichtiger Zwischenschritt auf dem Weg zu dem Ergebnis , das wir ja eigentlich wollen.

2.2.2 Abschätzung von nach unten

Terme der Form können wir einfach mit der Bernoulli’schen Ungleichung nach unten abschätzen (vorausgesetzt und ).

hat diese Form ja schon fast. Da , dürfen wir auch aus der Klammer herausziehen und schreiben:

Der Term in der Klammer auf der rechten Seite erfüllt jetzt alle Voraussetzungen für die Bernoulli’sche Ungleichung. Oder?

Noch nicht ganz, dafür müsste nämlich auch gelten, dass oder in unserem Fall:

Formen wir diesen Ausdruck etwas um, erhalten wir

Für welche die Bernoulli'sche Ungleichung gilt

Die Bernoulli’sche Ungleichung gilt also, solange

Ist also , so gilt mit der Bernoulli’schen Ungleichung

Ursprünglich wollten wir ja nach unten abschätzen. Mit diesem Ergebnis erhalten wir folgende Abschätzung:

Abschätzung von

Solange , gilt mit der Bernoulli’schen Ungleichung:

Was bringt uns das jetzt? Nun, wir wollten ja eigentlich zeigen, dass .

Bis jetzt haben wir gezeigt, dass .

Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass , dann würde mit dem Transitivitätsgesetz (A7) auch gelten, dass und genau da wollen wir ja hin.

Das ist also unser Ziel für den nächsten Abschnitt

2.2.3 Für welche gilt: ?

Um uns das Leben etwas zu vereinfachen, führen wir jetzt eine längere Kette aus Äquivalenzumformungen.

Unser Ziel dabei ist es, auf eine Seite der Gleichung zu isolieren. Es gilt:

Invertieren wir den Ausdruck jetzt noch einmal, erhalten wir (mit Proposition 12.2.15):

Das heißt:

Für welche gilt: ?

Solange , gilt die Ungleichung:

Mit dem Satz des Eudoxos können wir ein solches auch tatsächlich finden.

2.2.4 Zusammenführung und Widerspruch

Mit dem Satz des Archimedes können wir ein finden, sodass

Das heißt: unser ist auf jeden Fall

• größer als und
• größer als Dadurch gelten die zwei Abschätzungen, die wir oben gemacht haben, nämlich:

1. , denn und
2. , denn

Es gilt also:

Da wir ja schon festgestellt haben, dass , gilt auch .

Da das Supremum ist, kann nicht das Supremum sein. Das heißt im Umkehrschluss aber auch, dass es ein gibt, sodass .

Mit Lemma 12.2.66 gilt dann weiter, dass . Da wir ja schon festgestellt hatten, dass gilt dann insgesamt:

Das ist jedoch ein Widerspruch ↯ dazu, dass , denn nach Definition von muss ja gerade gelten: .

3 Schluss

Da und beide zu einem Widerspruch führen, muss mit dem Trichotomiegesetz (A6) gelten, dass .

Es folgt, dass eine p-te Wurzel von ist.