Korollar - Satz des Archimedes

• Bewiesen durch:
  • Supremumsprinzip
  • Monotoniegesetz (A8)
• Involvierte Definitionen:
  • Natürliche Zahlen

Korollar: Korollar - Satz des Archimedes

Die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht nach oben beschränkt.

Beweis

Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

Angenommen, wäre nach oben beschränkt. Mit dem Supremumsprinzip gäbe es dann ein Supremum von .

Dann gibt es aber auch eine natürliche Zahl mit . Addieren wir (mit dem Monotoniegesetz (A8)) auf beiden Seiten der Ungleichung, erhalten wir .

Da (nach Definition der Natürlichen Zahlen) ist das ein Widerspruch zu der Annahme, dass ein Supremum von ist.