Korollar - Q liegt dicht in R

• Bewiesen durch:
  • Satz des Eudoxos
• Involvierte Definitionen:
  • Rationale Zahlen
  • Reelle Zahlen
  • Epsilon-Umgebung

Korollar: liegt dicht in

Sei und sei vorgegeben.

Dann gibt es in eine rationale Zahl , mit

Anmerkung

Wenn wir eine beliebige -Umgebung von betrachten, dann besagt das Korollar, dass wir in dieser immer noch eine rationale Zahl finden:

Wenn wir dieses verkleinern (aber positiv halten), dann muss so ein immer dichter an heran rutschen.

Beweis

Es ist zu zeigen, dass in jeder Offenen Epsilon-Umgebung eine rationale Zahl liegt.

1. Teil: Reduktion des Problems

Sei dazu und .

Dann ist .

Nach dem Satz des Eudoxos gibt es zu jedem ein mit . Wir wählen also dieses .

Dann gilt und

Also: .

Damit reicht es zu zeigen, dass es eine rationale Zahl gibt, mit

2. Teil: Lösung des reduzierten Problems.

Es ist zu zeigen, dass es eine rationale Zahl gibt, mit .

Fall 1:

Nach dem Satz des Archimedes gibt es natürliche Zahlen mit .

Da jede nicht leere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein Minimum hat, gibt es auch eine kleinste solche natürliche Zahl, die wir nennen.

Für gilt also:

Da aber die kleinste natürliche Zahl ist, für die das zutrifft, gilt auch: .

Also:

Sei nun . Da , ist nach Definition eine rationale Zahl.

Mit können wir diese Ungleichung wie folgt umschreiben:

Für gilt also:

• Damit liegt in , was zu zeigen war.

Fall 2:

Dann gilt . Mit dem Fall 1, gilt dann dass es ein rationales mit gibt. Multiplizieren wir diese Ungleichungskette mit erhalten wir mit , was zu zeigen war.