Proposition - Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen

• Bewiesen durch:
  • Korollar 12.2.59
  • Bemerkung 12.2.20
  • Satz des Eudoxos
• Involvierte Definitionen:
  • Reelle Zahlen
  • Rationale Zahlen
  • Folge
  • Grenzwert
• Referenz: Mathegrundlagen

Proposition: Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen

Sei .

Dann gibt es eine Folge mit , sodass

Beweis

Sei . Dann wissen wir mit Korollar 12.2.59, dass dicht in liegt.

Konkret gilt: Wir finden für beliebige immer eine rationale Zahl sodass

Da gilt, mit Bemerkung 12.2.20 5., dass

Sei mit . Dann gibt es ein also ein sodass:

Sei eine Folge rationaler Zahlen , die diese Ungleichung erfüllt.

Wir zeigen nun, dass gegen konvergiert. Sei hierzu .

Es ist zu zeigen, dass es ein gibt, sodass

Nach dem Satz des Eudoxos gibt es ein , sodass . Nach Definition von gibt es auch ein , sodass

Es bleibt nun nur noch zu zeigen, dass für dieses auch gilt:

Das zeigen wir durch die folgende Ungleichung. Nach Definition von gilt: