Proposition - Dirichlet-Funktion ist unstetig

• Involvierte Definitionen:
  • Unstetigkeit
  • Dirichletfunktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Die Dirichletfunktion ist unstetig

Die Dirichletfunktion ist unstetig auf .

Beweis

Teil 1: Unstetig für

Sei , also irrational. Sei eine Folge rationaler Zahlen mit (eine solche Folge existiert mit Proposition 13.2.9).

Dann gilt:

2. da alle muss auch gelten: .
3. Aber da reell ist, gilt ↯.

Damit ist die Dirichletfunktion nicht stetig auf .

Teil 2: Unstetig für

Sei andererseits . Sei . Für gilt:

• Alle Folgenglieder sind irrational.
• (Da eine Nullfolge ist).

Damit gilt:

3. aber . ↯

Damit ist die Dirichletfunktion nicht stetig auf .