Proposition - Potenzfunktion wächst streng monoton für Potenzen größer 0

• Involvierte Definitionen:
  • Potenzfunktion
  • Streng monoton wachsende Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Für wächst die Potenzfunktion streng monoton

Ist , dann wächst die allgemeine Potenzfunktion mit streng monoton.

Beweis

Sei und zwischen und . (Randbemerkung: Ein solches existiert mit Korollar 12.2.59.)

Seien mit . Es ist zu zeigen, dass

Da gilt schonmal

Sei eine Folge in mit . Da wir vorausgesetzt hatten, dass , gibt es nach Definition 13.1.8 ein , sodass .

Dann gilt mit Proposition 12.2.80:

für alle (also für fast alle Glieder).

Mit dem Vergleichssatz folgt:

Mit der Ungleichung folgt

was zu zeigen war.