Proposition - Regeln zu Ungleichungen mit unterschiedlichen reellen Exponenten

• Involvierte Definitionen:
  • Reelle Exponenten
  • Exponent
  • Ungleichung
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Regeln zu Ungleichungen mit unterschiedlichen reellen Exponenten

Sei . Seien .

Ist , dann gilt:

Beweis

Beweis zu 1.

Es ist zu zeigen, dass .

Nach Voraussetzung gilt . Da , können wir als Potenzfunktion formulieren. Mit Proposition 14.2.25 1.) folgt, dass diese Potenzfunktion streng monoton wächst.

Da , gilt damit also auch:

was zu zeigen war.

Beweis zu 2.

Sei . Dann ist mit Proposition 12.2.15 . Mit der ersten Behauptung dieser Proposition folgt:

Mit Proposition 12.2.15 folgt

was zu zeigen war.