Definition - Reelle Exponenten

• Konstrukte:
  • Potenzfunktion
  • Exponentialfunktion
• Eigenschaften:
  • Potenzregeln für reelle Exponenten
  • Regeln zu Ungleichungen mit reellen Exponenten
  • Regeln zu Ungleichungen mit unterschiedlichen reellen Exponenten
  • Proposition - Folge reeller Exponenten
  • Anzahl der Lösungen beim Ziehen der Wurzel
  • Umstellen bei Subtraktion zweier Brüche
• Involvierte Definitionen:
  • Grenzwert
  • Folge
  • Rationale Zahlen
  • Reelle Zahlen
  • Exponent
• Referenz: Mathegrundlagen

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Definition: Reelle Exponenten

Sei . Sei eine rationale Folge mit .

Für alle definieren wir

Für und definieren wir

Herleitung

Sei eine Folge rationaler Zahlen mit

Mit Lemma 13.5.12 gilt, dass eine monotone Teilfolge hat.

Wir zeigen zunächst, dass mit eine konvergente Folge ist.

Teil 1: ist konvergent

Mit Proposition 13.2.4 gilt auch für diese monotone Teilfolge :

Sei eine obere und eine obere Schranke von . Dann gilt

und mit Proposition 12.2.80 folgt für ein

Die Folge ist also beschränkt. Da monoton ist, gilt mit Proposition 12.2.80, dass auch monoton ist.

Da also beschränkt und monoton ist, folgt mit dem Monotonieprinzip, dass konvergent ist.

Teil 2: Generalisierung

Sei nun eine beliebige Folge rationaler Zahlen mit

dann ist

denn für es galt ja, dass . Mit Lemma 14.2.20 folgt

Da und wir wissen, dass beide Folgen konvergieren, gilt mit Proposition 13.4.12:

Teil 3: Schluss

Für beliebige rationale Folgen mit gilt also:

Damit folgt direkt die Definition, was zu zeigen war.