Lemma - Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge

• Folgerungen:
  • Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß
• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Teilfolge
  • Definition - Monotone Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

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Lemma: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge

Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge.

Beweis

Wir unterscheiden hier zwischen drei Typen von Folgen:

1. Folgen mit unendlich vielen Gipfelstellen.
2. Folgen mit endlich vielen Gipfelstellen
3. Folgen ohne Gipfelstelle,

Zu 1.

Sei eine Folge mit unendlich vielen Gipfelstellen.

Dann gibt es eine monoton fallende Teilfolge mit Indizes .

Zu 2.

Sei eine Folge mit endlich vielen Gipfelstellen. Dann gibt es einen Index , der erst nach allen vorigen Gipfelstellen auftritt.

Da keine Gipfelstelle ist, gibt es einen Nachfolge-Index mit sodass .

Da auch keine Gipfelstelle mehr sein kann, gibt es einen Nachfolgeindex mit dessen Folgenglied ebenfalls und so weiter.

Wählen wir uns genau die Folgenglieder erhalten wir eine monoton wachsende Teilfolge.

Zu 3.

Die Argumentation ist hier identisch wie bei 2. nur, dass wir nicht erst einen Index nach der letzten Gipfelstelle wählen müssen - es gibt ja schließlich keine Gipfelstellen.