Theorem - Potenzregeln für reelle Exponenten

• Bewiesen durch:
  • Proposition 12.2.78
• Involvierte Definitionen:
  • Exponent
  • Reelle Zahlen
  • Folge
  • Rationale Zahlen
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Potenzregeln für reelle Exponenten

Seien (das heißt, ).
Seien .

Dann gilt:

3. (Prop. 14.2.30)

Beweis

Sei eine Folge rationaler Zahlen mit und sei eine Folge rationaler Zahlen mit .

Mit Definition 14.2.21 gilt und . Das werden wir auch hier nutzen.

1. Beweis:

Da rationale Folgen sind, gilt mit Proposition 12.2.78

Mit Proposition 13.4.12 folgt

also:

2. Beweis:

Da , gibt es kein mit . Es folgt, dass wir durch und auch teilen.

Da rationale Folgen sind, gilt mit Proposition 12.2.78

Mit Proposition 13.4.12 gilt

also gilt auch

Abschließend folgt

3. Beweis:

Sei fest. Wir zeigen zunächst, dass .
Erst anschließend zeigen wir .

1. Teil:

Also, sei, wie gesagt, fest. Da

1. rationale Folgen sind
3. (mit Korollar 14.2.23),

können wir Lemma 14.2.28 anwenden. In unserem Fall ist und . Damit gilt:

Da mit Proposition 13.4.12 für die Folge gilt:

folgt mit Proposition 14.2.29, dass

Da mit Proposition 12.2.78 , folgt mit und :

2. Teil:

Weiter gilt, dass (Merke: Wir haben das feste durch ausgetauscht)

Mit Proposition 14.2.29 (Im Kontext der Proposition gilt und ) gilt

Auch mit Proposition 14.2.29 (Im Kontext der Proposition gilt und ) gilt

Da (schließlich ist ja nur eine reelle Zahl und ) folgt mit den Gleichungen und :

was zu zeigen war.

4. Beweis:

Da rationale Folgen sind, gilt mit Proposition 12.2.78

Es folgt

5. Beweis:

Da rationale Folgen sind, gilt mit Proposition 12.2.78

Es folgt