Theorem - Ableitung der Exponentialfunktion

• Bewiesen durch:
  • Satz 14.2.32
  • Körperaxiome
  • Proposition 14.2.48
• Involvierte Definitionen:
  • Exponentialfunktion
  • Differenzierbarkeit
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Ableitung der Exponentialfunktion

Sei .
Für alle ist in differenzierbar und es gilt:

Insbesondere gilt

Anmerkung

Weitere Funktionen, deren Ableitung sie selbst sind

Sei .
Sei .

Dann gilt auch für :

Das folgt aus der Produktregel. Eine andere Möglichkeit gibt es nicht, wie wir mit dem Mittelwertsatz sehen werden.

Beweis

Mit der h-Methode gilt:

Für Exponentialfunktionen zur Basis gilt: . Damit folgt insbesondere: .