Definition - Differenzierbarkeit

• Beispiele:
  • Beispiel - Potenzdifferenz-Bruch-Folge
  • Betragsfunktion ist nicht differenzierbar in 0 (Gegenbeispiel)
  • Ableitung der Exponentialfunktion
  • Ableitung von Polynomfunktionen
  • Differenzierbarkeit rationaler Funktionen
  • Ableitung der Potenzfunktion für ganzzahlige Exponenten
  • Differenzierbarkeit der allgemeinen Potenzfunktion
  • Differenzierbarkeit des natürlichen Logarithmus
  • Differenzierbarkeit des Logarithmus
  • Differenzierbarkeit der Wurzelfunktion
• Konstrukte:
  • Ableitung einer Funktion
  • Stammfunktion
  • Differenzenquotient
• Generalisierungen:
  • Totale Differenzierbarkeit
• Eigenschaften:
  • Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
  • Funktion hat an jeder lokalen Extremstelle eine horizontale Tangente
  • Rechenregeln der Differentialrechnung
  • Mittelwertsatz
    • Satz von Rolle
  • Unterscheidung von Maximum und Minimum über die zweite Ableitung
  • Regel von de l’Hospital
  • Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion
• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Intervall
  • Grenzwert
• Referenz: Mathegrundlagen

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Definition: Differenzierbarkeit an der Stelle

Sei eine Funktion.
Sei ein beliebiges Intervall mit mehr als einem Punkt.

Wir sagen, dass im Punkt differenzierbar ist, wenn der Grenzwert

existiert.

Definition: Differenzierbarkeit

Sei eine Funktion.
Sei ein beliebiges Intervall mit mehr als einem Punkt.

Wir sagen, dass differenzierbar ist, wenn für alle Punkte differenzierbar ist.

Anmerkung

Wichtiger Praxistipp: h-Methode

Die Formulierung

ist insbesondere bei der konkreten Berechnung des Grenzwertes viel einfacher anzuwenden. Man spricht auch von der h-Methode.

Unter dem Blickwinkel einer stetigen Fortsetzung

Differenzierbarkeit einer Funktion an der Stelle bedeutet, dass die stetige Fortsetzung von auf

üü

in stetig ist.