Definition - Ableitung einer Funktion

• Beispiele:
  • Beispiel - Potenzdifferenz-Bruch-Folge
  • Ableitung der Exponentialfunktion
  • Ableitung von Polynomfunktionen
  • Differenzierbarkeit rationaler Funktionen
  • Ableitung der Potenzfunktion für ganzzahlige Exponenten
  • Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion
  • Ableitung des natürlichen Logarithmus
  • Ableitung des Logarithmus
  • Ableitung der Wurzelfunktion
• Konstrukte:
  • Stammfunktion
  • Taylorpolynom
• Generalisierungen:
  • Differenzierbarkeit
  • Mehrdimensionale Ableitung
• Eigenschaften:
  • Unterscheidung von Maximum und Minimum über die zweite Ableitung
  • Regel von de l’Hospital
  • Rechenregeln der Differentialrechnung
  • Satz von Taylor
• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Differenzierbarkeit
  • Grenzwert
  • Tangente
  • Differenzenquotient
• Referenz: Mathegrundlagen

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Definition: Ableitung einer Funktion an der Stelle

Sei eine Funktion.
Sei ein beliebiges Intervall mit mehr als einem Punkt.

Ist im Punkt differenzierbar, so bezeichnen wir

als Ableitung von an der Stelle .

Definition: Ableitung einer Funktion

Sei eine Funktion.
Sei ein beliebiges Intervall mit mehr als einem Punkt.

Ist für alle Punkte differenzierbar, dann bezeichnen wir

als Ableitung von .

Anmerkung

Merkregel: 16.1.6

Geometrisch gibt die Steigung der Funktion im Punkt an. Definitionsgemäß ist diese Steigung identisch zu der Steigung der Tangente an in dem Punkt .

Alternative Schreibweise

Die Differentialrechnung, unabhängig von Newton und von Leibniz entwickelt, hat bereits ein paar Jahrhunderte auf dem Buckel. Entsprechend haben sich verschiedene Schreibweisen eingebürgert.

Die häufigsten seien hier kurz am Beispiel der jeweils ersten und zweiten und zehnten Ableitung der Funktion aufgezeigt:

• Lagrange/Euler-Notation:
  
• Leibniz-Notation:
  oft auch
• D-Notation (auch Euler- oder Arbogast-Notation):
  
• Newton-Notation (auch Dot-Notation):