Proposition - Ableitung der Potenzfunktion für ganzzahlige Exponenten

• Bewiesen durch:
  • Ableitung der Potenzfunktion für natürliche Exponenten
• Generalisierungen:
  • Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion
• Involvierte Definitionen:
  • Potenzfunktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Ableitung der Potenzfunktion für ganzzahlige Exponenten

Sei .
Sei ein beliebiges Intervall mit mehr als einem Punkt.
Sei die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten, also .

Dann gilt: .

Beweis

Sei . Sei mit .

Dann gilt mit der Ableitung der Potenzfunktion für natürliche Exponenten und der Reziprokregel, dass für alle differenzierbar ist, wobei

Sei , dann gilt:

Für alle gilt also: