Proposition - Ableitung der Potenzfunktion für natürliche Exponenten

• Bewiesen durch:
  • h-Methode
• Generalisierungen: Ableitung der Potenzfunktion für ganzzahlige Exponenten
• Involvierte Definitionen:
  • Potenzfunktion
• Referenz: /

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Proposition: Ableitung der Potenzfunktion für natürliche Exponenten

Sei .
Sei ein beliebiges Intervall mit mehr als einem Punkt.
Sei die Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten, also .

Dann gilt: .

Beweis

Sei . Mit der h-Methode ist zu zeigen, dass der Grenzwert:

existiert und weiter, dass .

Es gilt:

• In Schritt nutzen wir den binomischen Lehrsatz, um zu erweitern.

• In Schritt ziehen wir den ersten Summanden ()aus der Summe heraus und schreiben ihn hinter die Summe.

• In Schritt nutzen wir, dass .

• In Schritt streichen wir . Außerdem lösen wir die Division auf. In dem Zuge folgt .

• In Schritt ziehen wir wieder den ersten Summanden aus der Summe heraus, in dem Fall .

• In Schritt nutzen wir .

• In Schritt lösen wir den Limes gemäß Rechenregeln konvergenter Folgen und Lemma 14.2.28.

  Damit gilt nämlich . Für den linken Teil des Ausdrucks folgt damit .

  Für den rechten Teil des Ausdrucks folgt damit , denn es gilt stets . Dadurch verpufft diese Summe komplett, denn .