Proposition - Differenzierbarkeit von Polynomfunktionen

• Involvierte Definitionen:
  • Polynomfunktion
  • Differenzierbarkeit
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Differenzierbarkeit von Polynomfunktionen

Sei ein beliebiges Intervall mit mehr als einem Punkt.
Sei eine Polynomfunktion, also .

Dann gilt:

ist für alle differenzierbar, wobei

Beweis

Die Polynomfunktion hat generell die Form:

Sie setzt sich also zusammen aus den konstanten Funktionen und den Potenzfunktionen .

Mit den beiden Propositionen Ableitung der konstanten Funktion und Ableitung der Potenzfunktion für natürliche Exponenten können wir uns nun an die Arbeit machen.

Nehmen wir hier noch die Kettenregel hinzu, dann gilt:

Da die Summe differenzierbarer Funktionen ebenfalls differenzierbar ist (siehe Proposition 16.2.1) folgt:

was zu zeigen war.