Definition - Jacobi-Matrix

• Typen:
  • Ableitung einer Funktion
  • Zweite totale Ableitung (Hessematrix)
• Generalisierungen:
  • Totale Differenzierbarkeit
  • Matrix
• Eigenschaften:
  • Existiert die mehrdimensionale Ableitung , so ist diese auch eindeutig.
  • Jacobi-Matrix ist eine lineare Abbildung
  • Mehrdimensionale Kettenregel
• Hinreichende Bedingungen:
  • Jacobi-Matrix durch partielle Ableitungen
• Involvierte Definitionen:
  • Totale Differenzierbarkeit
  • Matrix
  • mehrdimensionale Funktion
  • Vektorraum
  • Offene Menge
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Definition: Mehrdimensionale Ableitung in einem Punkt / Jacobi-Matrix

Sei eine offene Menge.
Sei eine Funktion.

Ist total differenzierbar in einem Punkt , so bezeichnen wir die -Matrix der Fehlerfunktion als Ableitung von im Punkt (oder auch als Jacobi-Matrix).

Statt schreiben wir in diesem Fall

Memo - Fehlerfunktion

Die Fehlerfunktion ist gegeben durch:

Siehe hierzu auch Totale Differenzierbarkeit.

Definition: Mehrdimensionale Ableitung

Sei eine offene Menge.
Sei eine Funktion.

Ist total differenzierbar auf , so ist die Ableitung eine Funktion mit

Für jeden Wert erhalten wir also eine neue Jacobi-Matrix.