Definition - Homomorphismus

• Entspricht in der konkreten linearen Algebra:
  • Matrix
    • Siehe Satz 9.1.9
  • Komposition entspricht
    • Matrizenmultiplikation
      • Siehe Proposition 9.3.1
  • Identische Abbildung entspricht
    • Einheitsmatrix
• Typen:
  • Isomorphismus
• Generalisierungen:
  • Abbildung
  • Affine Abbildung
  • Konvexe Funktion
• Beispiele:
  • Koordinatenabbildung
  • Ermitteln der geschlossenen Formel einer linearen Abbildung
  • Die Grenzwertabbildung
  • Matrixabbildung
  • Erwartungswert
  • Totale Ableitung
  • Partielle Ableitung
• Konstrukte:
  • Bild einer linearen Abbildung
  • Kern einer linearen Abbildung
  • Rang einer linearen Abbildung
  • Definition - Vektorraum der linearen Abbildungen
  • Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
• Eigenschaften:
  • Rechenregeln linearer Abbildungen
  • Komposition linearer Abbildungen ist eine lineare Abbildung
  • Komposition linearer Abbildungen als Matrizenmultiplikation
  • Rangsatz
  • Rang der Komposition linearer Abbildungen ist kleiner-gleich der Rang der Funktionen
  • Theorem - Jede Basis hat genau eine lineare Abbildung in den Wertebereich mit f(v_i)=w_i
  • Korollar - Rg(f)=Rg(cMb(f))
  • Bijektivität.
    • Korollar - Lineare Abbildung ist Surjektiv iff Lineare Abbildung ist Injektiv
    • Korollar - Lineare Abbildung ist bijektiv iff f(v1), …, f(v2) ist Basis von W
  • Injektivität
    • Proposition - Lineare Abbildung ist injektiv iff Kern der linearen Abbildung ist der Nullvektorraum
      • Korollar - Lineare Abbildung ist injektiv iff f(v1), …, f(v2) ist Basis von Bild(f)
      • Korollar - Lineare Abbildung ist bijektiv iff f(v1), …, f(v2) ist Basis von W
  • Surjektivität
    • Korollar - Lineare Abbildung ist surjektiv iff Basis ist Erzeugendensystem der Zielmenge
• Hinreichende Aussagen:
  • Propositionen/Theoreme, die hinreichend sind, um zu zeigen, dass ein anderes Objekt der Definition entspricht
• Charakterisierungen:
  • Korollar - Lineare Abbildung ist surjektiv iff Basis ist Erzeugendensystem der Zielmenge
  • Korollar - Lineare Abbildung ist injektiv iff f(v1), …, f(v2) ist Basis von Bild(f)
  • Korollar - Lineare Abbildung ist bijektiv iff f(v1), …, f(v2) ist Basis von W
  • Proposition - Lineare Abbildung ist bijektiv gdw Determinante der Abbildungsmatrix ist ungleich Null
• Referenz: [[} Mathematische Grundlagen KE3 - Lineare Abbildungen

Definition: -lineare Abbildungen / Vektorraumhomomorphismus

Seien und zwei Vektorräume.

Eine Abbildung heißt -lineare Abbildungen / Vektorraumhomomorphismus, falls für alle und gilt:

Anmerkung

Lineare Abbildungen sind Abbildungen zwischen Vektorräumen an, die die zentralen Operationen (Vektoraddition und Skalarmultiplikation) der Vektorräume respektieren.

Wir nennen diese Abbildungen -lineare Abbildungen oder (sehr kompliziert) Vektorraumhomomorphismen.

Notation

Falls klar ist, über welchem Körper die Vektorräume und definiert sind, sagt man statt -lineare Abbildung nur lineare Abbildung.

Wie man beweist, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt

Man nimmt sowie und geht wie folgt vor:

1. Man startet mit und führt eine Umformungskette, bis man erhält.
2. Man startet mit und führt eine Umformungskette, bis man erhält.