Theorem - Jede Basis hat genau eine lineare Abbildung in den Wertebereich mit f(v_i)=w_i

• Konstrukte:
  • Ermitteln der geschlossenen Formel einer linearen Abbildung
• Involvierte Definitionen:
  • Basis
  • Homomorphismus
• Referenz:
  • 8.4, Lineare Abbildungen und Basen
  • Mathegrundlagen

Satz: Beschreibung linearer Abbildungen durch die Bilder einer Basis

Seien und Vektorräume über einem Körper . Sei eine Basis von . Seien beliebige Vektoren in

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung mit für alle

Beweis

Wir werden zunächst die Existenz und dann die Eindeutigkeit von zeigen.

Attention

Hierzu zeigen wir jeweils eine allgemeinere Aussage

Beweis der Existenz

[Zu zeigen:] Wenn linear unabhängig sind, dann gibt es für beliebige mindestens eine lineare Abbildung

[Beweis:]

1. Eine Abbildung existiert

Was sollen wir also tun? Wir sollen eine Abbildung definieren, die als Definitions- und als Bildbereich hat. Außerdem soll gelten, dass alle auf die entsprechenden gemappt werden.

Naiv können wir so anfangen:

Das gibt uns allerdings nur eine Abbildung Den Definitionsbereich wollen wir jetzt auf ausdehnen.

Dazu ergänzen wir als erstes durch Vektoren zu einer Basis von . Außerdem wählen wir beliebig.

Sei . Da eine Basis von ist, können wir auch wie folgt schreiben:

Damit können wir unsere ursprüngliche Abbildung erweitern. Wir definieren also wie folgt:

Für gilt dann aber immer noch:

eine solche Abbildung gibt es also.

2. Die Abbildung ist linear

Beweis: f(v+v’) = f(v)+f(v’)

Seien . Dann gibt es Koeffizienten , so dass und .

Damit gilt, dass

was zu zeigen war.

Beweis: f(av) = af(v)

Sei . Dann gibt es Koeffizienten , so dass . Sei .

Damit gilt, dass

Was zu zeigen war.

Es folgt also, dass linear ist.

Schluss - Beweis der Existenz

Es folgt also erstens, dass mindestens eine Abbildung

existiert und zweitens, dass diese Abbildung auch linear ist.

Beweis der Eindeutigkeit

[Zu zeigen] Wenn ein Erzeugendensystem von ist, dann gibt es für beliebige höchstens eine lineare Abbildung mit wobei .

[Beweis] Seien lineare Abbildungen mit . Es ist zu zeigen, dass .

Da ein Erzeugendensystem von ist, gibt es Skalare , so dass .

Damit folgt:

Es gilt also

Schluss

Wir haben also gesehen, dass genau eine lineare Abbildung mit für alle existiert.

Dazu haben wir zwei allgemeinere Aussagen bewiesen:

1. Eine solche Funktion () existiert, solange es sich bei den um lineare unabhängige Vektoren in handelt.
2. Eine solche Funktion () ist eindeutig, solange die ein Erzeugendensystem bilden.

Damit es also genau eine solche lineare Abbildung gibt, müssen die

• sowohl linear unabhängig sein
• als auch ein Erzeugendensystem bilden damit müssen sie also eine Basis bilden.