Korollar - Lineare Abbildung ist injektiv iff f(v1), ..., f(v2) ist Basis von Bild(f)

• Bewiesen durch:
  • Proposition 8.3.10
  • Satz 8.3.13
• Involvierte Definitionen:
  • Das Bild einer linearen Abbildung
  • Lineare Abbildung
  • Basis
  • Injektivität
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Der Rangsatz

Korollar 8.3.18: Injektiv durch Basis von Bild

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum. Sei eine lineare Abbildung. Sei eine Basis von .

Dann gilt

Das heißt: genau die Abbildungen, die “Basen auf Basen übertragen” (das was Satz 8.4.1 sagt)

Beweis

ist injektiv ist eine Basis von

1. Das folgt unmittelbar aus: Proposition 8.3.10
2. Denn dann ist die Basis von die leere Menge und mit Satz 8.3.13 folgt die Behauptung direkt