Definition - Basis eines Vektorraums

• Typen:
  • Orthogonalbasis
  • Orthonormalbasis
• Beispiele:
  • Definition - Standardbasis von K hoch n
  • Definition - Standardbasis der m x n Matrizen
  • Definition - Standardbasis der Polynome
• Konstrukte:
  • Dimension
• Eigenschaften:
  • Alle Basen haben dieselbe Mächtigkeit
  • Das Austauschlemma
  • Austauschsatz von Steinitz
  • Der Basisergänzungssatz
  • Theorem - Jede Basis hat genau eine lineare Abbildung in den Wertebereich mit f(v_i)=w_i
  • Isomorphe Abbildung zwischen den Basen zweier Vektorräume
  • Isomorphe Abbildung zwischen den Basen desselben Vektorraums
• Hinreichende Aussagen:
  • Proposition - Erzeugendensysteme enthalten Basen
  • Proposition - Hinreichendes Basenkriterium per Dimension
  • Zusammenhang der Basen des Vektorraums, des Kerns und des Bildes
  • Bestimmen einer Basis eines Vektorraums
• Charakterisierungen:
  • Proposition - Basis iff eindeutige Linearkombination
• Involvierte Definitionen:
  • Linearkombination
  • Lineare Unabhängigkeit
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Basen endlich erzeugter Vektorräume
  • Mathegrundlagen

Definition: Basis von

Sei ein endlich erzeugter -Vektorraum mit .

Falls die Vektoren ein Erzeugendenssystem von und linear unabhängig sind

2. sind linear unabhängig

heißen eine Basis von .

Definition: Die Basis des Nullvektorraums

Wir definieren als die Basis von

Anmerkung

Attention

Die Begriffe Standardbasis und Kanonische Basis sind identisch

Lösungsmenge eines homogenen LGS Sind die Spalten der Lösungsmenge . Dann sind linear unabhängig und bilden eine Basis von