Korollar - Dimensionsformel für Unterräume

• Bewiesen durch:
  • Korollar 7.3.6
  • Proposition 7.4.4
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Dimensionen

Korollar: Dimensionsformel für Unterräume

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum. Sei ein Unterraum.

Dann gilt:

Beweis

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum. Sei ein Unterraum

Zu 1. Wir führen den Beweis per Widerspruch. Angenommen, und .

Dann bestehen alle Basen in aus linear unabhängigen Vektoren. Alle Basen in bestehen jedoch aus maximal linear unabhängigen Vektoren (Korollar 7.3.6). Das heißt auch: in gibt es maximal Mengen von linear unabhängigen Vektoren.

ist jedoch eine Teilmenge von . Dann müsste also Vektoren enthalten, die nicht in enthalten sind, was ein Widerspruch ist.

Zu 2. Seien eine Basis von . Da , liegen diese Vektoren auch in .

Sei , dann gilt nach dem Steinitz’schen Austauschsatz

Gilt , dann ist durch Proposition 7.4.4 ebenfalls eine Basis von und es muss gelten .