Korollar - Lineare Abbildung ist Surjektiv iff Lineare Abbildung ist Injektiv

• Bewiesen durch:
  • Proposition 8.3.10
  • Rangsatz
  • Dimensionsformel für Unterräume
• Involvierte Definitionen:
  • Lineare Abbildung
  • Dimension
  • Surjektivität
  • Injektivität
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Der Rangsatz

Korollar:

Seien und endlich erzeugte Vektorräume. Sei Sei eine lineare Abbildung.

ist genau dann surjektiv, wenn injektiv ist.

Anmerkung

Attention

Dank dieses Satzes müssen wir nur überprüfen, ob eine Abbildung (zwischen zwei Vektorräumen mit gleicher Dimension) Surjektiv oder Injektiv ist, um zu beweisen, dass es sich um einen Isomorphismus handelt.

Beweis

Sei .

Dann gilt

üä

1. Das folgt unmittelbar aus: Proposition 8.3.10

2. Das folgt aus dem Rangsatz, denn dann gilt:

3. Denn wir haben vorausgesetzt, dass

4. Folgt direkt aus der Dimensionsformel für Unterräume

5. Das ist einfach die Definition von Surjektivität