Theorem - V ist isomorph zu W iff dim(V)=dim(W)

• Bewiesen durch:
  • Korollar 8.3.17
  • Isomorph durch gleiche Dimension
  • Isomorphie zu K-hoch-n
• Involvierte Definitionen:
  • Dimension
  • Isomorphismus
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Der Rangsatz

Satz 8.3.19: Struktursatz endlich erzeugter Vektorräume

Seien und endlich erzeugte Vektorräume über einem Körper .

Anmerkung

Beispiel: . Das heißt:

Beweis

1. Teil

Sei . Dann gibt es eine isomorphe Abbildung .

Sei eine Basis von . Dann gilt .

Da isomorph ist, ist auch bijektiv und damit auch surjektiv und injektiv.

Da injektiv ist, gilt: . Nach dem Zusammenhang der Basen des Vektorraums, des Kerns und des Bildes gilt weiter, dass eine Basis von ist. Also auch .

Da surjektiv ist, gilt .

Also gilt auch , was zu zeigen war.

Das folgt direkt aus Isomorph durch gleiche Dimension

2. Teil

Das folgt direkt aus Korollar - Isomorphie zu dem Vektorraum K-hoch-n