Definition - Isomorphismus

• Entspricht in der konkreten linearen Algebra:
  • Invertierbare Matrix
    • Siehe Aufgabe 9.3.2 im Skript
  • Inverser Isomorphismus
    • inverse Matrix
• Beispiele:
  • Basistransformation
  • Koordinatenabbildung
  • Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
  • Korollar - Kern(f) ist isomorph zu der Lösungsmenge des homogenen LGS
• Generalisierungen:
  • Homomorphismus
• Eigenschaften:
  • Proposition - f ist ein Isomorphismus iff f-invers ist ein Isomorphismus
  • Komposition von Isomorphismen ist auch isomorph
• Hinreichende Aussagen:
  • Isomorph durch gleiche Dimension
    • Theorem - V ist isomorph zu W iff dim(V)=dim(W)
  • Korollar - Isomorphie zu dem Vektorraum K-hoch-n
  • Die Koordinatenabbildung ist isomorph
  • Proposition - Lineare Abbildung ist injektiv iff Kern der linearen Abbildung ist der Nullvektorraum in Kombination mit Korollar - Lineare Abbildung ist Surjektiv iff Lineare Abbildung ist Injektiv
  • Isomorphe Abbildung zwischen den Basen zweier Vektorräume
  • Isomorphe Abbildung zwischen den Basen desselben Vektorraums
  • Korollar - Lineare Abbildung ist bijektiv iff f(v1), …, f(v2) ist Basis von W
  • Proposition - Lineare Abbildung ist bijektiv gdw Determinante der Abbildungsmatrix ist ungleich Null
• Charakterisierung
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Lineare Abbildungen

Definition: Isomorphismus

Sei eine lineare Abbildung

heißt Isomorphismus, wenn bijektiv ist.

Gibt es zwischen zwei Vektorräumen einen Isomorphismus, schreiben wir auch

Anmerkung

Isomorphismen (von altgriechisch ἴσος (ísos) – „gleich“ und μορφή (morphḗ) – „Form“, „Gestalt“) sind Abbildungen zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die

• Teile einer Struktur
• auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur
• umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

Hier betrachten wir Vektorraum-Isomorphismen, bei denen also die Struktur der Basen erhalten bleiben.

Beweisen von Isomorphismen

Möchte man zeigen, dass irgendeine Funktion ein Isomorphismus ist, muss man unbedingt auch zeigen (außer es ist gegeben), dass überhaupt eine lineare Funktion ist.

Eine Möglichkeit, die Isomorphie einer linearen Abbildung zu beweisen, ist zu zeigen, dass sie Surjektiv (Korollar 8.3.5) und Injektiv ist (Proposition 8.3.10)