Proposition - f ist ein Isomorphismus iff f-invers ist ein Isomorphismus

• Bewiesen durch:
  • Bijektive Abbildungen sind invertierbar
• Involvierte Definitionen:
  • Isomorphismus
  • Inverse Abbildungen
  • Bijektivität
  • Homomorphismus
• Referenz:
  • Mathegrundlagen

Proposition: Auch ist eine Isomorphismus

Sei ein Isomorphismus. Dann ist auch ein Isomorphismus.

Das heißt: ist ein Isomorphismus ist ein Isomorphismus

Beweis

Sei ein Isomorphismus und die zu inverse Abbildung.

Da bijektiv ist, ist auch bijektiv.

Es bleibt zu zeigen, dass eine lineare Funktion ist.

1. Vektoraddition ist linear

Wir wissen, dass ein Isomorphismus ist. Das heißt:

2. Skalarmultiplikation ist linear

Wir wissen, dass ein Isomorphismus ist. Das heißt:

3. Schluss

Es folgt, dass linear ist.