Invertierbarkeit von Abbildungen

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Konzept

Eine Abbildung heißt invertierbar, wenn es eine Abbildung gibt, so dass

und

Das heißt: und

Wir nennen invers zu .

Welche Abbildungen sind invertierbar?

Bijektive Abbildungen sind invertierbar

Sei eine bijektive Abbildung.

Aufgrund der Surjektivität gilt für jedes Element der Zielmenge : für mindestens ein .

Aufgrund der Injektivität gilt, dass dieses eindeutig ist.

Für alle sei nun mit .

Dann gilt . Also . Und . Also .

Invertierbare Abbildungen sind bijektiv

Sei eine invertierbare Abbildung.

Dann gibt es auch

Und es gilt und Das heißt:

1. Injektivität beweisen für Sei beliebig. Dann gibt es mit Da invertierbar ist, gilt auch . Da eine Abbildung ist, darf jedem Urbild nur ein einziges Ergebnis zugeordnet sein. Daher muss gelten.

2. Surjektivität beweisen für Sei beliebig. Da invertierbar ist, gilt . Das heißt, es gibt ein mit . In anderen Worten, jedem ist ein zugeordnet:

Da injektiv und Surjektiv ist, folgt, dass bijektiv ist.

Charakterisierung invertierbarer Abbildungen

Wir haben also beobachtet, dass

Um zu entscheiden, ob eine Abbildung invertierbar ist, müssen wir also lediglich untersuchen, ob bijektiv ist.

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Appendix

• Tags:
  • Math
• Reference:
  • } Mathematische Grundlagen KE1 - Abbildungen
• Related:

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