Bemerkung - Funktion ist invertierbar gdw Funktion ist injektiv

• Involvierte Definitionen:
  • Umkehrfunktion
  • Injektivität
  • Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

⠀

Bemerkung: Funktionen sind genau dann invertierbar, wenn sie injektiv sind.

Sei eine Funktion. Es gilt:

ist injektiv zu gibt es eine Umkehrfunktion .

Beweis

Sei eine Funktion. Setzen wir den Bildbereich von gleich dem Bild von , also

dann ist nach Definition surjektiv.

Ist außerdem injektiv, dann folgt, dass bijektiv und damit invertierbar ist.

Da wir den Wertebereich immer auf das Bild von eingrenzen können, folgt, dass alle injektiven Funktionen invertierbar sind.

Da im Umkehrschluss alle invertierbaren Funktionen bijektiv und damit auch injektiv sind, folgt, dass alle invertierbaren Funktionen injektiv sind.