Proposition - Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion

• Involvierte Definitionen:
  • Umkehrfunktion
  • Differenzierbarkeit
  • Stetigkeit
  • Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion

Sei ein Intervall.
Sei stetig und streng monoton.
Sei außerdem in differenzierbar mit .

Dann gilt:

ist in dem Punkt differenzierbar, mit

Beweis

Sei eine Folge mit . Sei .\

Sei für alle . Da die Umkehrfunktion von ist, ist also eine Folge in .

Da mit Bemerkung 14.1.6 injektiv ist, und wir aus gewählt hatten, gilt:

Weil stetig auf ist, gilt mit Proposition 15.2.14, dass auch stetig ist. Da , gilt mit der Stetigkeit:

Da , folgt mit Proposition 15.3.7: