Proposition - Grenzwert konvergenter Funktionen ist eindeutig

• Bewiesen durch:
  • Proposition 13.2.4
• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Häufungspunkt
  • Konvergenz einer Funktion
  • Grenzwert
  • Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Grenzwert konvergenter Funktionen ist eindeutig

Sei eine Funktion.
Sei ein Häufungspunkt in .
Sei konvergent in .
Seien und zwei Folgen in mit Grenzwert .

Dann gilt:

Beweis

Aus den beiden Folgen und können wir uns eine neue Folge konstruieren mit:

Auch konvergiert gegen , denn fast alle Glieder von liegen in mit .

Da in konvergent ist, existiert auch der Grenzwert .

Da und Teilfolgen von sind, gilt mit Proposition 13.2.4:

Was zu zeigen war.