Aufgabe - Multiplikation mit Funktions-Nullfolgen

• Involvierte Definitionen:
  • Grenzwert einer Funktion
  • Konvergenz einer Funktion
  • Funktion
  • Nullfolge
  • Häufungspunkt
  • Beschränktheit von Funktionen
• Referenz: Mathegrundlagen

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Aufgabe: Multiplikation mit Funktions-Nullfolgen

Sei eine Funktion.
Sei ein Häufungspunkt von .
Sei eine beschränkte Funktion.

Dann gilt:

Beweis

Clever

Sei eine Folge mit und mit .

Da beschränkt ist, ist eine beschränkte Folge. Für gilt nach Voraussetzung, dass eine Nullfolge ist.

Mit Proposition 13.4.9 folgt, dass eine Nullfolge ist.

Das heißt, es gilt:

Mit Proposition 15.3.7 folgt:

was zu zeigen war.

Naiv

Sei . Sei eine beschränkte Funktion.

Da beschränkt ist, gibt es eine positive Zahl , sodass

Sei . Dann gilt mit Proposition 12.2.13 auch, dass:

Sei eine Folge mit und mit . Dann gilt nach Voraussetzung:

Die Folge ist also eine Nullfolge. Es gibt daher ein , ab dem gilt:

Damit gilt aber auch weiter:

Es folgt:

Mit Definition 13.1.8 beziehungsweise Definition 13.4.5 gilt damit, dass eine Nullfolge ist.

Das heißt, es gilt:

Mit Proposition 15.3.7 folgt:

was zu zeigen war.