Definition - Grenzwert einer Funktion

• Beispiele:
  • Beispiel - Potenzdifferenz-Bruch-Folge
• Konstrukte:
  • Stetige Fortsetzung
  • Differenzierbarkeit
• Eigenschaften:
  • Rechenregeln für Funktionenkonvergenz
  • Multiplikation mit Funktions-Nullfolgen
• Charakterisierungen:
  • Proposition - Funktion ist stetig in Häufungspunkt gdw Funktion konvergiert gegen f(a) mit a ist Häufungspunkt
  • Theorem - Epsilon-Delta-Kriterium für den Grenzwert
  • Cauchy’sches Konvergenzprinzip für Funktionen
• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Grenzwert einer Folge
  • Häufungspunkt
  • Konvergenz einer Funktion
  • Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

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Definition: Grenzwert einer Funktion

Sei eine Funktion.
Sei ein Häufungspunkt von .
Sei konvergent in .
Sei eine beliebige Folge mit und .

Der Grenzwert von in ist der Grenzwert der Folge .

Da dieser Grenzwert mit Proposition 15.3.7 für alle Folgen in identisch ist, schreiben wir auch einfach:

Anmerkung

Bedeutung der neuen Limes-Schreibweise

Das aus unter dem steht stellvertretend für alle Folgen mit , die bei gegen konvergieren.

Das heißt:

(Quelle: Newsgroup, Dünner-Waßerburger)

Aussprache

Für sprechen wir auch “Grenzwert/Limes von für gegen .”

Voraussetzung für die Definition

Voraussetzung für die Definition war die Eindeutigkeit des Grenzwertes, siehe Proposition 15.3.7.