Proposition - Funktion ist stetig in Häufungspunkt gdw Funktion konvergiert gegen f(a) mit a ist Häufungspunkt

• Involvierte Definitionen:
  • Grenzwert einer Funktion
  • Funktion
  • Stetigkeit
  • Häufungspunkt
  • Konvergenz einer Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Funktion ist stetig in Häufungspunkt Funktion konvergiert gegen mit ist Häufungspunkt

Sei eine Funktion.
Sei ein Häufungspunkt von .

Dann gilt:

ist stetig in

Beweis

Teil 1:

Sei stetig in . Dann folgt mit Beobachtung 15.3.5, dass auch konvergent in ist.

Sei eine Folge mit und . Da stetig in ist, gilt

mit Proposition 15.3.7 gilt für alle Folgen mit und , dass gegen konvergiert.

Teil 2:

Es ist zu zeigen, dass für alle Folgen mit gilt: .

Sei . Sei eine Folge mit und .

Hat eine Teilfolge , die in liegt, so konvergiert gegen und es gilt .

Angenommen, hat keine Teilfolge, die in liegt. Dann muss gelten, dass fast alle Glieder sind.

Dann gibt es also einen Index , sodass . Damit folgt ebenfalls .

Nach Definition 15.1.1 ist also stetig in a.