Beispiel - Potenzdifferenz-Bruch-Folge

• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Funktion
  • Konvergenz
  • Grenzwert einer Funktion
  • Grenzwert
• Referenz: Mathegrundlagen

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Beispiel: Potenzdifferenz-Bruch-Folge

Seien und .
Sei eine Funktion mit .

Dann gilt: .

Beweis

Mit Bemerkung 14.2.27 können wir den Zähler umschreiben. Es gilt:

Wir definieren uns nun eine neue Funktion wie folgt:

Dann gilt:

für alle (was aber ohnehin Voraussetzung ist).

Da eine Polynomfunktion ist, ist mit Proposition 15.1.13 1.) stetig auf und damit insbesondere auch in .

Mit Proposition 15.3.9 folgt

Mit Gleichung , den Summenzeichen-Merkregeln und den Potenzregeln für reelle Exponenten: folgt

Und damit . Mit Gleichung und folgt nun

was zu zeigen war.