Proposition - Stetigkeit von Polynomfunktionen

• Involvierte Definitionen:
  • Stetigkeit
  • Polynomfunktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Polynomfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig

Sei eine Polynomfunktion. Dann gilt:

ist stetig auf .

Beweis

Sei ein Polynom und die zugehörige Polynomfunktion.

Sei und die zugehörige Polynomfunktion.

Dann gilt: und .

Gilt für alle , dass sie stetig auf sind, so folgt mit Proposition 15.1.11 auch, dass stetig ist.

Sei eine Folge auf mit .

Es gilt:

In Proposition 14.2.47 haben wir gezeigt, dass die Potenzfunktion stetig ist. Damit gilt für Gleichung :

Mit Definition 15.1.1 ist stetig. Mit Proposition 15.1.11 folgt, dass stetig ist.