Proposition - Rechenregeln für Stetigkeit

• Involvierte Definitionen:
  • Stetigkeit
  • Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Rechenregeln für Stetigkeit

Seien Funktionen.
Sei so, dass und stetig in sind.
Sei .

Dann gilt:

1. ist stetig in
2. ist stetig in
3. ist stetig in
4. ist stetig in
5. ist stetig in (sofern )
6. ist stetig in , sofern mit stetig in ist

Beweis

1. Beweis: ist stetig in

Sei eine Folge in mit . Dann gilt nach Voraussetzung:

Dann gilt mit Definition 14.1.15 und den Rechenregeln konvergenter Folgen aber auch:

Mit Definition 15.1.1 gilt, dass stetig in ist, was zu zeigen war.

2. Beweis:

Sei eine Folge in mit .

Dann gilt nach Voraussetzung:

Dann gilt mit Definition 14.1.15 und den Rechenregeln konvergenter Folgen aber auch:

Mit Definition 15.1.1 gilt, dass stetig in ist, was zu zeigen war.

3. Beweis: ist stetig in

Sei eine Folge in mit .

Dann gilt nach Voraussetzung:

Dann gilt mit Definition 14.1.15 und den Rechenregeln konvergenter Folgen aber auch:

Mit Definition 15.1.1 gilt, dass stetig in ist, was zu zeigen war.

4. Beweis: ist stetig in

Sei eine Folge in mit .

Dann gilt nach Voraussetzung:

Dann gilt mit Definition 14.1.15 und den Rechenregeln konvergenter Folgen aber auch:

Mit Definition 15.1.1 gilt, dass stetig in ist, was zu zeigen war.

5. Beweis: ist stetig in

Sei eine Folge in mit .

Dann gilt nach Voraussetzung:

Da außerdem , gilt mit Definition 14.1.15 und den Rechenregeln konvergenter Folgen:

Mit Definition 15.1.1 gilt, dass stetig in ist, was zu zeigen war.

6. Beweis: ist stetig in

Sei mit stetig in .
Sei eine Folge in mit .

Dann gilt nach Voraussetzung:

Das ist aber auch schon, was zu zeigen war, denn