Definition - Stetigkeit einer Funktion

• Typen:
  • L-Lipschitz-stetigkeit
• Beispiele:
  • Polynomfunktion mit Proposition 15.1.13 1.)
  • Rationale Funktion mit Proposition 15.1.13 2.)
  • Konstante Funktion mit Aufgabe 15.1.2
  • Potenzfunktion mit Proposition 14.2.47
  • Exponentialfunktion mit Proposition 14.2.29
  • Logarithmus mit Proposition 14.2.46
  • Größte-Ganze-Funktion mit Aufgabe 15.1.5
  • Betragsfunktion mit Aufgabe 15.1.10
• Konstrukte:
  • Unstetigkeit einer Funktion
  • Stetige Fortsetzung
  • Hebbare Unstetigkeit
• Eigenschaften:
  • Stetigkeit und Delta-Umgebung
  • Rechenregeln für Stetigkeit
  • Nullstellensatz von Bolzano
  • Zwischenwertsatz von Bolzano
  • Bild einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist selbst ein Intervall
  • Das Bild einer stetigen Funktion über einem abgeschlossenen Intervall ist ein abgeschlossenes Intervall und außerdem beschränkt
  • Satz vom Minimum und Maximum
  • Injektive stetige Funktionen über einem abgeschlossenen Intervall sind streng monoton
  • Umkehrfunktion stetiger injektiver Funktion auf einem Intervall ist stetig
  • Ist eine Funktion in einem Häufungspunkt stetig so ist sie in diesem auch konvergent
  • Stetige Funktionen besitzen auf kompakten Mengen immer ein globales Maximum und globales Minimum
• Hinreichende Aussagen:
  • Jede Funktion auf einer endlichen Teilmenge ist stetig
  • Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
  • Konvexität impliziert Stetigkeit
• Charakterisierungen:
  • Theorem - Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit
  • Korollar - Stetige Funktion über einem Intervall ist injektiv gdw Stetige Funktion über einem Intervall ist streng monoton
• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Folge
  • Konvergenz
• Referenz: Mathegrundlagen

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Definition: Stetigkeit in

Sei eine Funktion.
Sei ein Folgenraum über .
Sei .

Die Funktion heißt stetig in , wenn gilt:

Definition: Stetigkeit auf

Sei eine Funktion.

Die Funktion heißt stetig auf , wenn

Anmerkung

Eine vereinfachte Erklärung

Metin:

Stetigkeit ist so etwas wie das Gegenteil von Chaos

• Chaos: Kleine Änderungen führen zu großen Auswirkungen
• stetig: Kleine Änderungen führen auch nur zu kleinen Auswirkungen