Theorem - Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren

• Konstrukte/Folgerungen:
  • Lösung eines Optimierungsproblems mit affinen Gleichheitsnebenbedingungen durch Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren
• Involvierte Definitionen:
  • Allgemeines Optimierungsproblem
  • Zulässiger Bereich eines Optimierungsproblems
  • Gradient
  • Rang einer Matrix
  • Lokales Extremum unter Nebenbedingungen
  • Lagrangefunktion
  • Affine Funktion
  • Totale Differenzierbarkeit
  • Stetige Funktion
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Theorem 3.4.6 und Bemerkung 3.4.8)

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Theorem: Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren

Sei eine einmal stetig differenzierbare Funktion.
Seien einmal stetig differenzierbare Funktionen.
Seien zusätzlich so, dass die Matrix

maximalen Rang habe, also .

Sei das folgende Optimierungsproblem mit Gleichheits-Nebenbedingungen gegeben:

Dann gilt nach dem Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren:

hat eine lokale Extremstelle bei unter Nebenbedingungen es existiert ein , so dass

Das heißt: für die Lagrangefunktion, zur Erinnerung: , gilt

Theorem: Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren (mit affinen )

Sei eine einmal stetig differenzierbare Funktion.
Seien affine Funktionen.

Sei das folgende Optimierungsproblem mit Gleichheits-Nebenbedingungen gegeben:

Dann gilt nach dem Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren:

hat eine lokale Extremstelle bei unter Nebenbedingungen es existiert ein , so dass

Das heißt: für die Lagrangefunktion, zur Erinnerung: , gilt

Anmerkung

Tipp: Und was sind jetzt die Lagrange-Multiplikatoren?

Als Lagrange-Multiplikatoren bezeichnen wir die .