Definition - Allgemeines Optimierungsproblem

• Typen:
  • Erfüllbares Optimierungsproblem
  • Konvexes Optimierungsproblem
  • Duales Optimierungsproblem
• Konstrukte:
  • Zulässiger Bereich eines Optimierungsproblems
  • Zulässiger Punkt
  • Zulässiges Optimierungsproblem
  • Lagrangefunktion
  • Lokales Extremum unter Nebenbedingungen
  • Primale Variable
  • Duale Variablen
  • Dual zulässiger Punkt
  • Lagrangemultiplikatoren
  • Duale Funktion
  • Schwache Dualität
  • Starke Dualität
  • KKT-Bedingungen
• Eigenschaften:
  • Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren
  • Lösung eines Optimierungsproblems mit affinen Gleichheitsnebenbedingungen durch Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren
  • Menge dualer Variablen ist konvex
  • Lösung des dualen Problems ist kleiner-gleich Wert des primalen Problems (schwache Dualität)
  • Komplementärer Schlupf
• Involvierte Definitionen:
  • Minimum
  • Funktion
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Definition 3.4.1 und Bemerkung 3.4.2)

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Definition: Allgemeines Optimierungsproblem

Sei eine Menge.
Sei eine beliebige Zielfunktion.
Seien Funktionen.
Seien Funktionen.

Als allgemeines Optimierungsproblem definieren wir:

Es wird also ein gesucht, das von allen , die die Nebenbedingungen erfüllen, dasjenige ist, welches die Funktion am stärksten minimiert.

Definition: Reduziertes allgemeines Optimierungsproblem

Sei eine Menge.
Sei eine beliebige Zielfunktion.
Seien Funktionen.
Seien Funktionen.

Als reduziertes allgemeines Optimierungsproblem (auch Minimierungsproblem unter Nebenbedingungen) definieren wir:

Es wird also ein gesucht, das von allen , die die Nebenbedingungen erfüllen, dasjenige ist, welches die Funktion am stärksten minimiert.

Anmerkung

Primales Problem?

Im Kontext dualer Optimierungsprobleme spricht man bei dem zugehörigen allgemeinen Optimierungsproblem auch vom primalen Problem.